Proposition - Maß auf Sigma-Algebra ist stetig von unten

• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Maß
  • Sigma-Stetigkeit von unten
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Maß auf Sigma-Algebra ist stetig von unten

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Sei ein Maß auf .

Dann gilt: ist -stetig von unten, also:

für alle Mengenfolgen mit und , wobei .

Beweis

Sei .
Sei eine beliebige Mengenfolge mit und .

Es ist zu zeigen, dass

Da , gilt:

• und
• .

Mithilfe des Lemmas über die Umwandlung beliebiger Vereinigungen von Mengen in eine paarweise disjunkte Vereinigung gilt:

Mit den beiden Propositionen Mengendifferenz in Halbringen als Schnitt von Komplementen und Mengendifferenz in Halbringen als disjunkte Vereinigung gilt weiter:

Es existieren paarweise disjunkte , sodass

Das ist hierbei keine Rechenoperation, sondern dient zur Unterscheidung der , die zu den verschiedenen Indizes , bzw. Mengen gehören.

Da eine -Algebra ist, gilt

Um uns kürzer fassen zu können, sei

Also gilt nach Gleichung :

Wir rufen noch mal in Erinnerung, was zu zeigen war:

Memo - Stetigkeit von unten

Es ist zu zeigen, dass

Mit Gleichungen , und der -Additivität von gilt:

ä

was zu zeigen war.