Involvierte Definitionen
:Veranstaltung
: EiSReferenz
: @henze2019
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Proposition: Mengendifferenz in Halbringen als disjunkte Vereinigung
Sei
eine Grundmenge.
Seiein Halbring über .
SeienMengen aus dem Halbring. Dann gilt:
Anmerkung
Kombinationsmöglichkeit
Diese Proposition lässt sich hervorragend mit Differenzmenge in Halbringen als Schnitt von Komplementen kombinieren.
Startet man mit einer nicht-disjunkten Vereinigung, erweist sich zusätzlich das Lemma über die Umwandlung beliebiger Vereinigungen von Mengen in eine paarweise disjunkte Vereinigung als hilfreich.
Beweis
Neuer Ansatz
Wir zeigen die Aussage mittels vollständiger Induktion über
Induktionsanfang
Sei
Es ist nun zu zeigen, dass
Da
was zu zeigen war. Damit hält also der Induktionsanfang.
Induktionsvoraussetzung
Für ein
Induktionsschritt
Es ist zu zeigen, dass
Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
Sei
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es paarweise disjunkte Mengen
Da
Für Gleichung
Wieder mit den Distributivgesetzen der Mengenlehre folgt mit Gleichung
Da jeweils
Da außerdem alle
Es gibt also paarweise disjunkte Mengen
Wobei
was zu zeigen war.
Induktionsschluss
Da der Induktionsschritt hält, gilt die Behauptung
nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.
1. Ansatz:
Seien also
Mit den Distributivgesetze der Mengentheorie und der Identität Mengendifferenz als Durchschnitt gilt:
Da
Wobei das Superskript