Proposition - Differenzmenge in Halbringen als disjunkte Vereinigung

• Involvierte Definitionen:
  • Differenzmenge
  • Disjunkte Vereinigung
  • Paarweise Disjunktheit von Mengen
  • Halbring
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Mengendifferenz in Halbringen als disjunkte Vereinigung

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Halbring über .
Seien Mengen aus dem Halbring.

Dann gilt:

Anmerkung

Kombinationsmöglichkeit

Diese Proposition lässt sich hervorragend mit Differenzmenge in Halbringen als Schnitt von Komplementen kombinieren.

Startet man mit einer nicht-disjunkten Vereinigung, erweist sich zusätzlich das Lemma über die Umwandlung beliebiger Vereinigungen von Mengen in eine paarweise disjunkte Vereinigung als hilfreich.

Beweis

Neuer Ansatz

Wir zeigen die Aussage mittels vollständiger Induktion über .

Induktionsanfang

Sei . Wir betrachten also die Mengen .

Es ist nun zu zeigen, dass

Da , gilt mit der dritten Eigenschaft von Halbringen, dass paarweise disjunkte Mengen existieren, sodass

was zu zeigen war. Damit hält also der Induktionsanfang.

Induktionsvoraussetzung

Für ein gelte:

Induktionsschritt

Es ist zu zeigen, dass

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

Sei . Dann gilt mit den Distributivgesetzen der Mengenlehre:

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es paarweise disjunkte Mengen , sodass

Da , gilt mit der dritten Eigenschaft von Halbringen, dass paarweise disjunkte Mengen existieren, sodass

Für Gleichung folgt aus Gleichungen und :

Wieder mit den Distributivgesetzen der Mengenlehre folgt mit Gleichung :

Da jeweils als auch und da Halbringe gegenüber dem Schnitt abgeschlossen sind, ist auch .

Da außerdem alle und paarweise disjunkt sind, sind auch alle paarweise disjunkt.

Es gibt also paarweise disjunkte Mengen mit

Wobei . Zusammengefasst:

was zu zeigen war.

Induktionsschluss

Da der Induktionsschritt hält, gilt die Behauptung

nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

1. Ansatz:

Seien also Mengen aus dem Halbring.

Mit den Distributivgesetze der Mengentheorie und der Identität Mengendifferenz als Durchschnitt gilt:

ä

Da ein Halbring ist und da , gilt mit der 3. Eigenschaft und Gleichung :

Wobei das Superskript zur vereinfachten Unterscheidung der und dient und nicht mit einer Rechenoperation zu verwechseln ist.