Proposition - Inhalt auf Halbring ist Monoton für beliebige Vereinigungen

• Involvierte Definitionen:
  • Inhaltsfunktion
  • Halbring
  • Monotonie von Mengenfunktionen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Inhalt auf Halbring ist Monoton für beliebige Vereinigungen

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Halbring über .
Sei ein Inhalt auf .

Seien endlich viele Mengen aus .
Sei , sodass .

Dann gilt:

Beweis

Seien also mit .

Mit dem Lemma über die Umwandlung beliebiger Vereinigungen von Mengen in eine paarweise disjunkte Vereinigung gilt:

Das können wir jetzt nutzen, um eine zielführende alternative Darstellungsweise von zu finden.

Da , gilt auch . Mithilfe der Distributivgesetze der Mengenlehre und Gleichung gilt weiter:

Mithilfe der Propositionen Differenzmenge in Halbringen als Schnitt von Komplementen und Differenzmenge in Halbringen als disjunkte Vereinigung, können wir den rechten Teil von Gleichung als disjunkte Vereinigung von Mengen darstellen. Das ist hierbei keine Rechenoperation, sondern dient zur Unterscheidung der .

Das heißt:

Wir rufen uns noch mal in Erinnerung, was überhaupt zu zeigen war:

Memo - Inhalt der Proposition

Mithilfe von Gleichung und der endliche Additivität der Inhaltsfunktion gilt:

Da schnittstabil ist, ist . Von den wissen wir ebenfalls, dass sie in liegen (siehe etwas weiter oben).

Wir können daher die Proposition über die Monotonie von Inhaltsfunktionen über Halbringen (1) und die Proposition über die Monotonie von Inhaltsfunktionen über Halbringen bezüglich paarweise disjunkter Mengen (2) anwenden.

Um uns gleich etwas kürzer fassen zu können, führen wir noch schnell einen Kurzbezeichner ein:

Damit gilt:

1. Mit Proposition (1):
   
2. Mit Proposition (2):
   

Mit diesen beiden Implikationen, Gleichung und Gleichung folgt schließlich:

Es gilt also

was zu zeigen war.