Proposition - Inhalt auf Halbring ist Monoton für paarweise disjunkte Mengen

• Bewiesen durch:
  • Mengendifferenz in Halbringen als Schnitt von Komplementen
  • Mengendifferenz in Halbringen als disjunkte Vereinigung
  • Regeln von De Morgan in der Mengenlehre
• Involvierte Definitionen:
  • Inhaltsfunktion
  • Halbring
  • Monotonie von Mengenfunktionen
  • Paarweise Disjunktheit von Mengen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, Eigener Beweis

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Proposition: Inhalt auf Halbring ist Monoton für paarweise disjunkte Mengen

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Halbring über .
Sei ein Inhalt auf .

Sei .
Seien paarweise disjunkte Mengen mit .

Dann gilt:

Beweis

Seien also und paarweise disjunkt mit .

Es ist zu zeigen, dass

Hierfür versuchen wir zunächst einmal eine für uns zielführende Darstellung von herzuleiten.

Da gilt auch:

denn die Vereinigung einer Teilmenge von mit dem Komplement dieser Teilmenge aus ergibt ja schließlich .

Insbesondere gilt also

Gleichung können wir mithilfe der Regeln von De Morgan in der Mengenlehre nun noch etwas umformulieren. Es gilt:

Mithilfe der Proposition über Mengendifferenz als Schnitt von Komplementen und der Proposition über Mengendifferenz als disjunkte Vereinigung gibt es paarweise disjunkte Mengen , sodass

Merke außerdem, dass

Für Gleichung gilt damit:

Es war zu zeigen, dass

Mithilfe von Gleichung und der endlichen Additivität der Inhaltsfunktion gilt:

Da eine Inhaltsfunktion und damit eine nicht-negative Abbildung ist, ist .

Damit gilt

was zu zeigen war.