Proposition - Inhalt auf Halbring ist Sigma-Additiv gdw Inhalt auf Halbring ist Sigma-Subadditiv

• Involvierte Definitionen:
  • Inhaltsfunktion
  • Halbring
  • Sigma-Additivität von Mengenfunktionen
  • Sigma-Subadditivität von Mengenfunktionen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Inhalt auf Halbring ist Sigma-Additiv Inhalt auf Halbring ist Sigma-Subadditiv

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Halbring über .
Sei ein Inhalt auf .

Es gilt:

Beweis

1.

Sei eine -additive Inhaltsfunktion.

Sei mit eine Mengenfolge, sodass .

Nach Definition der Sigma-Subadditivität von Mengenfunktionen ist zu zeigen, dass:

Mit dem Lemma über das umwandeln beliebiger Vereinigungen von Mengen in eine paarweise disjunkte Vereinigung gilt:

Mit den beiden Propositionen Mengendifferenz in Halbringen als Schnitt von Komplementen und Mengendifferenz in Halbringen als disjunkte Vereinigung gilt weiter:

Es existieren paarweise disjunkte , sodass

Das ist hierbei keine Rechenoperation, sondern dient zur Unterscheidung der , die zu den verschiedenen Indizes , bzw. Mengen gehören.

Insbesondere gilt

Wir rufen uns nochmal in Erinnerung, was zu zeigen war:

Memo - -Subadditivität

Mithilfe von Gleichung gilt nun:

Da nach Gleichung , gilt mit der Proposition über die Monotonie der Inhaltsfunktion über Halbringen für paarweise disjunkte Mengen weiter:

Also

was zu zeigen war.

2.

Sei eine -subadditive Inhaltsfunktion.

Sei mit eine Mengenfolge paarweise disjunkter Mengen , sodass .

Nach Definition der Sigma-Additivität von Mengenfunktionen ist zu zeigen, dass:

Da -subadditiv ist, gilt bereits:

Es bleibt also zu zeigen, dass zusätzlich:

Sei . Damit ist offensichtlich auch . Nach der Proposition über die Monotonie der Inhaltsfunktion über Halbringen für paarweise disjunkte Mengen gilt damit:

was zu zeigen war.

3. Schluss

Da beide Richtungen '' und '' gezeigt werden konnten, gilt

was zu zeigen war.