Proposition - Inhalt auf Halbring ist Monoton

• Involvierte Definitionen:
  • Inhaltsfunktion
  • Halbring
  • Monotonie von Mengenfunktionen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Inhalt auf Halbring ist monoton

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Halbring über .
Sei ein Inhalt auf .

Dann gilt: ist monoton. Also:

Beweis

Seien mit .

Um uns die Arbeit zunächst etwas zu vereinfachen, fangen wir mit einer Fallunterscheidung an. Wir unterscheiden:

1.

Das ist jetzt sehr einfach. Ist , so gilt offensichtlich auch

was zu zeigen war.

2.

Da , gibt es nach der Definition des Halbrings paarweise disjunkte Mengen , sodass

Da nach Voraussetzung , gilt außerdem

Damit gilt:

Für den Inhalt gilt also:

Da Inhaltsfunktion endlich additiv sind, gilt weiter:

Da den Wertebereich hat, gilt auf jeden Fall

Damit gilt weiter

was zu zeigen war.