Theorem - Jedes schnittstabile Dynkin-System ist eine Sigma-Algebra

• Bewiesen durch:
  • Dynkin-Systeme sind komplementstabil
• Involvierte Definitionen:
  • Schnittstabil
  • Sigma-Algebra
  • Dynkin-System
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

⠀

Theorem: Jedes schnittstabile Dynkin-System ist eine Sigma-Algebra

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Dynkin-System über .

Dann gilt: ist schnittstabil ist eine -Algebra.

Beweis

Erste -Algebra-Eigenschaft

Da wir bereits gezeigt haben, dass Dynkin-Systeme komplementstabil sind, folgt aus , dass .

Zweite -Algebra-Eigenschaft

Das ist genau die Komplementstabilität, die wir bereits gezeigt haben.

Dritte -Algebra-Eigenschaft

Es ist zu zeigen, dass:

Wir wissen bereits, dass stabil gegenüber der Vereinigung abzählbar vieler paarweise disjunkter Mengen ist. Für Disjunkte gilt also

Wir stehen also vor der Herausforderung, die Vereinigung beliebiger Mengen (Gleichung ) als Vereinigung disjunkter Mengen (Gleichung ) darstellen zu müssen.

Darstellung als Vereinigung disjunkter Mengen

Seien zwei beliebige Mengen. Die Vereinigung enthält alle Elemente, die entweder in oder in liegen.

Sei die Menge der Elemente aus - aber ohne die Elemente aus , also:

Dann sind und disjunkt (), das Ergebnis der Vereinigung bleibt aber gleich:

Wir haben die Vereinigung beliebiger Mengen nun also als Vereinigung zweier disjunkter Mengen darstellen können.

Leider ist das Dynkin-System gegenüber der Differenzmenge nur dann abgeschlossen, wenn .

Wir müssen uns also überlegen, ob wir durch Operationen darstellen können, gegenüber denen abgeschlossen ist.

Eine andere Darstellung der Differenzmenge

Sei eine beliebige Grundmenge und Teilmengen von .

Dann gilt zunächst einmal:

denn enthält genau die Elemente, die in liegen - aber nicht in .

Da die Elemente aus aber auf jeden Fall in liegen, reicht es aus, nur die Elemente zu entfernen, die in , also sowohl in und in liegen. Denn: Elemente, die schon von vornherein gar nicht in liegen, müssen (und können) wir ja auch gar nicht mehr entfernen.

Mithilfe dieser Erkenntnis aus Gleichung können wir weiter umformen. Es gilt:

Damit haben wir es geschafft! Denn:

• dass komplementstabil ist, haben wir bereits hier gezeigt.
• dass schnittstabil ist, ist Voraussetzung dieses Theorems.

Wir können nun also die Vereinigung beliebiger Mengen explizit als Vereinigung paarweise disjunkter Mengen schreiben. Für beliebige Mengen gilt also:

Für erhalten wir also:

Ausgeschrieben entspräche das:

Mit Gleichung gilt also auch die dritte -Algebra Eigenschaft, was zu zeigen war.