Bewiesen durch:
- Jedes schnittstabile Dynkin-System ist eine Sigma-Algebra
- Distributivgesetze der Mengentheorie
Involvierte Definitionen:
- Schnittstabilität
- Schnittstabiles Mengensystem (auch -System)
- Erzeugtes Dynkin-System
- Erzeugte Sigma-Algebra
Veranstaltung: EiS
Referenz: @henze2019, @doring2020 Schnittstabilität

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Beweis

Wir wissen bereits, dass jedes schnittstabile Dynkin-System eine Sigma-Algebra ist. Um zu zeigen, dass

Damit genügt es also zu zeigen, dass die Schnittstabilität von impliziert, dass auch schnittstabil ist. Also:

Dann folgt die Behauptung nämlich direkt mit dem Satz über die schnittstabilen Dykin-Systeme.

Sei also eine schnittstabiles Mengensystem. Wir konstruieren uns zunächst ein neues Mengensystem , das alle Teilmengen aus enthält, deren Schnitt mit einem ebenfalls wieder in liegt. Mathematisch also:

ü

Dass die Menge verdammt clever gewählt ist, werden wir leider erst ganz zum Ende einsehen können.

Bis dahin zeigen wir zunächst einmal:

dass ein schnittstabiles Dynkin-System ist,
dass (vorausgesetzt ),
dass (vorausgesetzt ),
dass (vorausgesetzt ),
schließlich, dass aus Schnittstabilität folgt. (🥳)

1. ist ein Dynkin-System

1. Eigenschaft:

Laut Definition enthält alle Mengen, die, geschnitten mit , in liegen.

Da ein Dynkin-System von ist, gilt .

Da außerdem ist und , ist , was zu zeigen war.

2. Eigenschaft:

Seien also und .

Nach Definition von (siehe Memo) gilt dann außerdem:

Da , gilt insbesondere auch . Mit der 2. Eigenschaft der Dynkin-Systeme ist damit auch

Mithilfe der Distributivgesetze der Mengentheorie sowie Gleichung und gilt:

Da gilt also auch , was zu zeigen war.

3. Eigenschaft: paarweise disjunkt .

Seien abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen. Zur Vereinfachung schreiben wir .

Es ist zu zeigen, dass

Da , gilt nach Definition von :

Da die paarweise disjunkt sind, sind auch die Mengen paarweise disjunkt.

Mit der 3. Eigenschaft der Dynkin-Systeme gilt damit

denn die Vereinigung disjunkter Mengen aus liegt ebenfalls in .

Mit dem 1. Distributivgesetze der Mengentheorie folgt weiter:

Da also

gilt auch:

Wir holen uns noch einmal die Definition von in Erinnerung:

Da also , folgt nach Definition von :

was zu zeigen war.

Schluss

Da wir alle 3 Eigenschaften gezeigt haben, ist , wie behauptet, ein Dynkin-System.

Damit ist der erste Punkt unserer Beweisskizze abgehakt:

2. für alle

Da wir gezeigt haben, dass ein Dynkin-System ist, können wir jetzt die Eigenschaften von Dynkin-Systemen auf anwenden.

Wir rufen uns noch einmal die Definition von in Erinnerung:

enthält also alle Teilmengen aus , die mit einem geschnitten wiederum in liegen.

Wir haben bisher explizit aus gewählt.

Nach Definition der Erzeugung von Dynkin-Systemen, ist aber auch . Wir können daher auch ein betrachten, das aus kommt.

Sei nun also explizit . Wir wollen jetzt noch zeigen, dass .

Dass ist, wissen wir bereits.
Außerdem wissen wir, dass schnittstabil ist.

Das heißt aber auch, dass für alle Mengen in gilt:

Denn ist ja eben aus und da schnittstabil ist, liegt der Schnitt beliebiger Mengen aus wieder in . Anders gesagt: wir schneiden zwei Mengen aus , also liegt das Ergebnis auch wieder in .

Da wie bereits festgestellt eine Teilmenge von ist, gilt aber auch:

Wir holen uns noch mal die Definition von in Erinnerung:

Da also für alle gilt, dass , liegen auch alle aus in .

Es gilt also:

was zu zeigen war.

Damit ist auch der zweite Punkt unserer Beweisskizze abgehakt:

3. für alle

In Gleichung haben wir bereits festgestellt, dass

Mit der Proposition über die Teilmengen-Beziehung des erzeugten Dynkin-Systems und der Proposition über das Erzeugnis eines Dynkin-Systems folgt:

was zu zeigen war.

Das war leider erst ein Zwischenschritt auf unserem Weg zu dem dritten Punkt der Beweisskizze. (Dafür war er immerhin nicht ganz so kompliziert.)

4. Was bedeutet das nach Definition von ?

Wir haben gerade gezeigt, dass für alle . Noch mal ganz formell:

Wir holen uns jetzt wieder die Definition von in Erinnerung:

In Kombination mit Gleichung gilt also:

Ich habe den Ausdruck farblich gekennzeichnet, um die Einzelteile besser herauszustellen. Merke, dass zu dem Ausdruck wird, da wir an der Stelle die Teilmengen-Beziehung durch eine elementbezogene Beziehung “austauschen”.

Das ist wieder nur ein Zwischenschritt, aber schon fast das “heavy lifting”.

5. für alle

Diesen Ausdruck haben wir tatsächlich schon gezeigt! Um das ersichtlich zu machen, stellen wir ihn erstmal wie in Gleichung und anschließend in Gleichung um:

Wir holen uns jetzt noch einmal die Definition von in Erinnerung:

In Kombination mit Gleichung gilt also:

Vergleichen wir nun Gleichung mit Gleichung , so fällt auf, dass sie tatsächlich äquivalent sind. Es wurde lediglich in umbenannt (und vice versa):

Es gilt also tatsächlich für alle , was zu zeigen war.

Okay, das nachzuvollziehen ist vermutlich wieder gar nicht so einfach, aber damit haben wir den dritten Punkt redlich verdient.

6. Schluss

Wir haben gerade gezeigt, dass Gleichung , also:

gilt.

Wieder mit der Proposition über die Teilmengen-Beziehung des erzeugten Dynkin-Systems und der Proposition über das Erzeugnis eines Dynkin-Systems folgt:

In Kombination mit der Definition von ist das aber genau die Schnittstabilität von , die wir gesucht haben.

Wir holen uns die Definition ein letztes Mal in Erinnerung:

Wie schon in Gleichungen und schreiben wir den Ausdruck aus Gleichung anhand der Definition um. Also:

Und das ist genau die Schnittstabilität, die wir gesucht haben:

Was zu zeigen war.

Wir haben damit alle Punkte unserer Beweisskizze abgehakt und sind tatsächlich fertig 🥳

/vault

Theorem - Erzeugtes Dynkin-System gleich der erzeugten Sigma-Algebra falls die Menge schnittstabil ist

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Beweis

1. ist ein Dynkin-System

1. Eigenschaft:

2. Eigenschaft:

3. Eigenschaft: paarweise disjunkt .

Schluss

2. für alle

3. für alle

4. Was bedeutet das nach Definition von ?

5. für alle

6. Schluss

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