Definition - Erzeugte Sigma-Algebra

• Typen:
  • Erzeugte Sigma-Algebra einer messbaren Abbildung
• Beispiele:
  • Erzeugte Sigma-Algebra eines einelementigen Mengensystems
• Eigenschaften:
  • Durchschnitt von Sigma-Algebren ist eine Sigma-Algebra
  • Proposition - Von M erzeugte Sigma-Algebra ist die kleinste die M enthält
  • Teilmengen-Beziehung überträgt sich auf die erzeugte Sigma-Algebra
  • Die erzeugte Sigma-Algebra einer Sigma-Algebra ist die Sigma-Algebra selbst
  • Zusammenhang der Erzeugung von Ringen Algebren und Sigma-Algebren
  • Lemma über die Gleichheit erzeugter Sigma-Algebren
  • Erzeugtes Dynkin-System ist Teilmenge der erzeugten Sigma-Algebra
  • Erzeugtes Dynkin-System gleich der erzeugten Sigma-Algebra falls die Menge schnittstabil ist
  • Unabhängigkeit durchschnittsstabiler Mengensysteme überträgt sich auf deren erzeugte Sigma-Algebren
• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Durchschnitt von Mengen
  • Mengensystem
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Erzeugte Sigma-Algebra

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Mengensystem über .

Als die von erzeugte -Algebra bezeichnen wir

also den Durchschnitt aller -Algebren über , die außerdem das Mengensystem enthalten.

Weiter gilt, dass eindeutig ist.

Anmerkung

Tipp: Namensschema

Wir bezeichnen auch als Erzeugendensystem oder als Erzeuger von .