Theorem - Das Mengensystem der kompakten Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra

• Involvierte Definitionen:
  • Kompakte Menge
  • Erzeugendensysteme der Maßtheorie
  • Borelsche Sigma-Algebra
  • Erzeugte Sigma-Algebra
  • Mengensystem
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Mengensystem der kompakten Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra

Sei die Borelsche -Algebra.
Sei das Mengensystem der kompakten Mengen über .

Dann gilt:

Beweis

Per definitionem (Definition - Kompakte Menge) ist , wenn :

1. abgeschlossen und
2. beschränkt

ist.

Mithilfe des Theorems Das Mengensystem der abgeschlossenen Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra gilt:

wobei das Mengensystem aller abgeschlossenen Mengen aus ist.

Es genügt also zu zeigen, dass

1.

Da alle abgeschlossenen Mengen enthält, enthält auch alle abgeschlossenen Mengen, die beschränkt sind.

Es gilt also:

was zu zeigen war.

2.

Mit der Proposition Abgeschlossene Mengen als abzählbare Vereinigung kompakter Mengen, lässt sich jede abgeschlossene Menge als Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen darstellen.

Laut Definition enthält alle kompakten Mengen.

Da -Algebren gegenüber der Vereinigung abzählbar vieler Mengen abgeschlossen sind, enthält die von erzeugte -Algebra auch alle Vereinigungen dieser kompakten Mengen.

Da also

• jede denkbare Vereinigung von kompakten Mengen enthält
• und jede abgeschlossene Menge als Vereinigung kompakter Mengen dargestellt werden kann

folgt, dass auch alle abgeschlossenen Mengen enthält

Es gilt also

Mit der Proposition Teilmengen-Beziehung überträgt sich auf die erzeugte Sigma-Algebra folgt schließlich

was zu zeigen war.

3. Schluss

Da also

folgt

Da folgt

was zu zeigen war.