Theorem - Das Mengensystem der abgeschlossenen Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra

• Bewiesen durch:
  • Lemma über die Gleichheit erzeugter Sigma-Algebren
• Involvierte Definitionen:
  • Abgeschlossene Menge
  • Erzeugendensysteme der Maßtheorie
  • Borelsche Sigma-Algebra
  • Erzeugte Sigma-Algebra
  • Mengensystem
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Mengensystem der abgeschlossenen Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra

Sei die Borelsche -Algebra.
Sei das Mengensystem der abgeschlossenen Mengen über .

Dann gilt:

Beweis

Sei das Mengensystem der offenen Mengen von .

Da -Algebren gegenüber der Komplementbildung abgeschlossen sind und das Komplement jeder offenen Menge eine abgeschlossene Menge ist, gilt:

• enthält alle offenen und abgeschlossenen Mengen.
• enthält ebenfalls alle offenen und abgeschlossenen Mengen.

Also:

Mit dem Lemma über die Gleichheit erzeugter Algebren folgt:

Da per definitionem , ist

was zu zeigen war.