Definition - Borelsche Sigma-Algebra

• Typen:
  • Borelsche Sigma-Algebra der erweiterten reellen Zahlen
• Konstrukte:
  • Borelsche Menge
  • Reelle Zufallsvariable
  • Borel-messbare Funktion
  • Borel-Lebesgue-Maß
• Hinreichende Bedingungen:
  • Das Mengensystem der abgeschlossenen Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra
  • Das Mengensystem der kompakten Mengen ist Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra
  • Das Mengensystem der halboffenen Intervalle ist eine Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra
• Involvierte Definitionen:
  • Offene Menge
  • Mengensystem
  • Reelle Zahlen
  • Topologischer Raum
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, @riedel2023

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Definition: Borelsche Sigma-Algebra

Sei das Mengensystem der offenen Mengen über einem topologischen Raum (hier beispielhaft ).

Als -Algebra der Borel-Mengen des bezeichnen wir:

Falls , schreiben wir kurz .

Anmerkung

Mengensystem der halboffenen Intervalle

Da ein Erzeugendensystem von ist, gilt auch: