Theorem - Durchschnitt von Sigma-Algebren ist eine Sigma-Algebra

• Involvierte Definitionen:
  • Durchschnitt von Mengen
  • Sigma-Algebra
  • Abzählbarkeit von Mengen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, Eigener Beweis

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Theorem: Durchschnitt von Sigma-Algebren ist eine Sigma-Algebra

Sei eine Grundmenge.
Seien abzählbar viele -Algebren.

Dann gilt:
ist eine -Algebra.

Beweis

O.b.d.A zeigen wir die Behauptung für zwei -Algebren. Der Fall mit abzählbar vielen -Algebren folgt (etwas lapidar gesagt) durch mit .

Seien und zwei -Algebren. Dann enthält mindestens die triviale -Algebra .

Haben und eine Schnittmenge, die über die triviale -Algebra hinausgeht, dann muss es sich bei ebenfalls um eine -Algebra handeln.

Das zeigen wir per Beweis durch Widerspruch. Angenommen, sei keine -Algebra. Dann muss entweder der zweiten oder der dritten Regel widersprechen.

Es muss also entweder

1. oder

Widerspruch im ersten Fall

Da und , muss es im ersten Fall ein geben mit und aber .

Dann würde oder aber gegen die 2. Regel der -Algebra verstoßen, was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass es sich um zwei -Algebren handelt.

Widerspruch im zweiten Fall

Da und , muss es im zweiten Fall eine geben mit

• und
• , aber
• .

Dann würde oder aber gegen die 3. Regel der -Algebra verstoßen, was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass es sich bei und um zwei -Algebren handelt.

Schluss

Da wir beide Fälle zu einem Widerspruch geführt haben, gilt die Behauptung.