Proposition - Von M erzeugte Sigma-Algebra ist die kleinste die M enthält

• Bewiesen durch:
  • Durchschnitt von Sigma-Algebren ist eine Sigma-Algebra
• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Erzeugte Sigma-Algebra
  • Durchschnitt von Mengen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, Eigener Beweis

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Proposition: ist die kleinste -Algebra, die enthält

Sei eine Grundmenge.
Sei ein Mengensystem über .

Dann ist die von erzeugte -Algebra die kleinste -Algebra, die enthält.

Beweis

Da der Durchschnitt nur diejenigen Elemente enthält, die auch in allen miteinander geschnittenen Mengen enthalten sind, ist der Durchschnitt die kleinstmögliche Schnittmenge von Mengen.

Wir haben bereits gezeigt, dass der Durchschnitt von Sigma-Algebren eine Sigma-Algebra ist.

Damit ist das Ergebnis des Durchschnitts aller -Algebren, die enthalten, die kleinste -Algebra, die enthält.