Beispiel - Erzeugte Sigma-Algebra eines einelementigen Mengensystems

• Involvierte Definitionen:
  • Erzeugte Sigma-Algebra
  • Sigma-Algebra
  • Mengensystem
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: Eigener Inhalt

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Beispiel: Erzeugte Sigma-Algebra eines einelementigen Mengensystems

Sei ein Grundraum.
Sei ein System über .

Dann gilt:

Beweis

Hier ist zu zeigen, dass

1. eine -Algebra ist und
2. die kleinste -Algebra ist, die enthält.

Wir zeigen zunächst, dass eine -Algebra ist. Hierzu sind die 3 Eigenschaften zu zeigen.

1. .
2. Komplemente
3. Vereinigungen
   • Vereinigungen mit der leeren Menge ergeben die übrigen Mengen aus der Vereinigung
   • Vereinigungen mit ergeben

ist also eine -Algebra.

Darüber hinaus ist auch die kleinste -Algebra, denn wenn wir ein Element entfernen würden, würde es sich bei nicht mehr um eine -Algebra handeln.