Theorem - Erzeugungsweise der Binomialverteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Binomialverteilung
  • Indikatorsumme
  • Zufallsvariable
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • Ereignis
  • Mehrstufiger unabhängiger stochastischer Vorgang
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Erzeugungsweise der Binomialverteilung

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien unabhängige Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit .

Dann gilt:

𝟙

Beweis

Nach Definition der Binomialverteilung ist zu zeigen, dass

Wir haben gesetzt:

𝟙

Nach der Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen gilt

Wobei dem Ergebnis entspricht, bei dem genau der Ereignisse eintreten. ist dann wiederum das Ereignis, das alle diese möglichen Ergebnisse enthält.

Das entspricht genau

Das Ereignis ist also die disjunkte Vereinigung aller möglichen Kombinationen von Ereignissen, sodass stets genau von diesen Ereignissen eintreten (die ) und genau von diesen Ereignissen nicht eintreten (stattdessen treten die Komplemente der ein).

Da der Binomialkoeffizient die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Grundmenge angibt, gibt es genau Möglichkeiten für . Es gilt also:

Es bleibt also zu ermitteln, was ist.

Da die unabhängig sind, sind nach Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Mengensystemen auch die Mengensysteme unabhängig.

Mit der Proposition über die Übertragung der Unabhängigkeit durchschnittsstabiler Mengensysteme auf deren erzeugte Sigma-Algebren folgt, dass auch stochastisch unabhängig sind.

Nach dem Beispiel über die erzeugte Sigma-Algebra eines einelementigen Mengensystems gilt:

Die Mengensysteme

sind also stochastisch unabhängig.

Dann folgt nach der Definition über die Stochastische Unabhängigkeit von Mengensystemen und da , bzw. :

Mit Gleichung erhalten wir also:

Was zu zeigen war.