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Definition - Binomialverteilung

Dec 29, 202316 min read

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Definition: Binomialverteilte Zufallsvariable

Sei die Anzahl möglicher Erfolge.
Sei die Anzahl möglicher Nieten.
Sei die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu erhalten.

Es werde mal mit Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge irrelevant ist.

Wir bezeichnen die Zufallsvariable als binomialverteilt , wenn

  • gibt an, wie viele Treffer gezogen wurden,
  • gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau Treffer gezogen wurden.

Anmerkung

Interpretation

Wir betrachten die Binomialverteilung nun noch einmal genauer.

Die Wahrscheinlichkeit, beim -fachen Ziehen genau Treffer zu erhalten, entspricht damit:

  • der Anzahl Kombinationsmöglichkeiten, Treffer und Nieten auf die Züge zu verteilen,
  • multipliziert mit der Gesamtanzahl möglicher Treffer,
  • multipliziert mit der Gesamtanzahl möglicher Nieten,
  • dividiert durch die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten, aus den insgesamt Treffern und Nieten irgendwelche Ergebnisse zu ziehen.

Beispiel: Stabdiagramme nach @henze2019

Herleitung

Um die Binomialverteilung herzuleiten, suchen wir zunächst die geeigneten Grundbegriffe. Heißt:

  • Einen geeigneten Grundraum.
  • Eine geeignete -Algebra.
  • Ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß.
  • Eine geeignete Zufallsvariable.

Haben wir diese Begriffe einmal gefunden, führen sie uns fast wie automatisch zu der Definition der Binomialverteilung.

Unintuitivstellen voraus

Wir werden die Binomialverteilung, bei der es eigentlich gar nicht auf die Reihenfolge ankommt, mithilfe des Urnenexperimentes U1 (Reihenfolge relevant; mit Zurücklegen) herleiten.

Weshalb man die Binomialverteilung nicht mittels des Urnenexperimentes U3 (Reihenfolge irrelevant; mit Zurücklegen) korrekt herleiten kann (wie es bei der Hypergeometrische Verteilung mit U4 möglich war), habe ich leider noch nicht abschließend verstanden.

Auf diesem Weg würden wir die Wahrscheinlichkeit für aber stets unterschätzen.

  • To-do: In Zukunft noch einmal prüfen.

Herleitung des Grundraums

Seien also rote Kugeln in einer Urne.
Und seien schwarze Kugeln in einer Urne.

Insgesamt haben wir also Kugeln.

Normalerweise sind die Kugeln bei Urnenexperimenten nummeriert. Hier haben wir nur Farben gegeben. Daher führen wir jetzt ein Nummerierungsschema wie folgt ein:

Sei die Menge der roten Kugeln.
Sei die Menge der schwarzen Kugeln.

Dann lässt sich jede Ziehung aus Kugeln darstellen als -Permutation

wobei die Nummer der im -ten Zug gezogenen Kugel darstellt. Für den Grundraum der hypergeometrischen Verteilung gilt also:

Als -Algebra wählen wir . Im Folgenden schreiben wir der Einfachheit halber direkt .

Herleitung des Wahrscheinlichkeitsmaßes

Als Wahrscheinlichkeitsmaß wählen wir die Laplace-Verteilung auf . Also:

Wobei ein Ereignis ist, also eine Menge von Ergebnis-Tupeln.

Diese Annahme ist sinnvoll, da jede der insgesamt Kugeln gleich wahrscheinlich ist. Damit sind auch alle Ergebnisse aus gleich wahrscheinlich.

Beispiel: Seien . Dann ist .

Herleitung der Zufallsvariable

Wir erinnern uns kurz an die ursprüngliche Fragestellung.

Memo - Ursprüngliche Fragestellung

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau gezogene Kugeln rot sind?

Heißt: Unser sollte die Anzahl der entnommenen Kugeln zählen, die rot sind.

Hierzu bietet sich das Konzept der Zählvariable an. Sei also eine Reelle Zufallsvariable mit

𝟙

Wobei diejenigen Ereignisse seien, bei denen die -te gezogene Kugel rot ist. Bei ist also die erste Kugel rot, bei die zweite und so weiter. Da wir hier mit zurücklegen ziehen, sind die stochastisch unabhängig.

Die Indikatorfunktion 𝟙 gibt an, dass das Ereignis eingetreten ist.

Tipp: Kleiner Ausflug zu dem Eintreten von Ereignissen

Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn die Kugel an der -ten Stelle rot ist. Was für die anderen Kugeln gilt, ist egal. Sie könnten beispielsweise ebenfalls rot sein.

Beobachten wir also ein Ergebnis , bei dem sich an den Stellen und rote Kugeln befinden, so treten die Ereignisse und alle gemeinsam ein.

Herleitung der Ursprungsfrage

Nun, da wir sowohl als auch definiert haben, wollen wir unserer ursprünglichen Frage auf den Grund gehen:

Memo - die ursprüngliche Frage

. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau gezogene Kugeln rot sind?

Nach der Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen gilt:

Im Nenner stehen also alle möglichen Ergebnisse aus dem Grundraum, während im Zähler genau diejenigen Tupel stehen, für die gilt, dass . Heißt: die genau rote Kugeln enthalten.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, müssen wir daher bestimmen, wie viele Tupel mit genau roten Kugeln es gibt.

Wie viele Tupel gibt es, die genau rote Kugeln enthalten?

Wie setzt sich ein solches Tupel eigentlich zusammen? Na ja, es besteht aus roten und schwarzen Kugeln. Und diese Kugeln sind auf die verschiedenen Stellen bis verteilt.

Um zu bestimmen, wie viele solcher Tupel es gibt, müssen wir also

  1. Bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, unsere Kugeln auf den Stellen des Tupels zu verteilen.
  2. Bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt rote Kugeln zu ziehen.
  3. Bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, schwarze Kugeln zu ziehen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, unsere Kugeln auf den Stellen des Tupels zu verteilen?

Wir haben hier genau rote und schwarze Kugeln, die es auf insgesamt Stellen zu verteilen gilt.

Das ist ein Paradebeispiel für den Binomialkoeffizienten. Wir wollen nämlich wissen: wie viele Möglichkeiten gibt es, aus Stellen genau Stellen für die roten Kugeln und Stellen für die schwarzen Kugeln auszuwählen.

Nach diesen Überlegungen gibt es also

Möglichkeiten, unsere roten und schwarzen Kugeln auf den Stellen des Tupels zu verteilen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, rote Kugeln zu ziehen?

Angenommen, wir hätten eine Urne mit genau rote Kugeln. Wir ziehen aus dieser Urne genau Kugeln, wobei wir

  • die Reihenfolge beachten
    (wir platzieren die Kugeln von links nach rechts auf den im letzten Abschnitt ausgewählten Stellen)
  • die Kugeln wieder zurücklegen

Damit handelt es sich bei der Fragestellung um ein Urnenexperiment des Typs U1.

Demnach gibt es genau

Möglichkeiten, rote Kugeln zu ziehen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, schwarze Kugeln zu ziehen?

Hier gelten dieselben Betrachtungen wie bei den roten Kugeln.

Es gibt genau

Möglichkeiten, schwarze Kugeln zu ziehen.

Und wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt für Tupel mit genau roten Kugeln?

Wir müssen an dieser Stelle nur noch die Möglichkeiten aus den Gleichungen zusammenmultiplizieren und erhalten:

für die Anzahl Möglichkeiten für Tupel mit genau roten Kugeln.

Nach Gleichung wissen wir jetzt also:

Nun müssen wir nur noch bestimmen - und das ist leicht, denn wir hatten ja gesagt, dass . Nach der Proposition über die Anzahl aller k-Permutationen mit Wiederholung gilt

Wir erhalten also:

Wir können diesen Term jetzt noch etwas umstellen, sind aber schon fast am Ziel.

Was zu zeigen war 🎉

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