Definition - Poisson-Verteilung

• Generalisierungen:
  • Diskrete Verteilung
  • Binomialverteilung für
  • Exponentialfamilie
• Eigenschaften:
  • Erwartungswert der Poisson-Verteilung
  • Varianz der Poisson-Verteilung
  • Additionsgesetz der Poission-Verteilung
• Involvierte Definitionen:
  • Diskrete Verteilung
  • Binomialverteilung
  • Euler’sche Zahl
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Poisson-Verteilung

Sei die Anzahl erwarteter Treffer in einem gegebenen Zeitintervall.

Wir bezeichnen die Zufallsvariable als Poisson-verteilt , wenn

• gibt an, wie viele Treffer in dem gegebenen Zeitintervall gezogen wurden,
• gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau Treffer in dem gegebenen Zeitintervall gezogen wurden.

Anmerkung

Und was ist mit der Anzahl an Zügen?

Die Anzahl der Züge ist tatsächlich nicht weiter relevant, da es nur um die Anzahl erwarteter Treffer in einem Zeitintervall geht.

(Tatsächlich geht die Anzahl der Züge sogar gegen , wie in der Herleitung ersichtlich wird.)

Wann nutze ich die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung bietet sich immer dann an, wenn es darum geht, wie wahrscheinlich eine Anzahl von einzeln sehr unwahrscheinlichen Ereignissen über einen Zeitraum (oder auch in einem Gebiet/einer Fläche) eintritt.

Beispielsweise bei:

• dem Zerfall von Atomen,
• der Anzahl von Gewittern,
• der Anzahl von Unfällen,
• der Anzahl von Schreibfehlern,
• der Anzahl von Defekten,
• der Anzahl von Produktionsfehlern.

Herleitung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Poisson-Verteilung herzuleiten. Hier betrachten wir zunächst nur die Herleitung über die Binomialverteilung.

Herleitung über die Binomialverteilung (Gesetz seltener Ereignisse)

Grundlegende Betrachtungen

Die Poisson-Verteilung wird sich uns als Grenzwert einer Folge binomialverteilter Zufallsvariablen erschließen.

Das leuchtet ein, denn

• die Binomialverteilung gibt uns die Wahrscheinlichkeit dafür, bei Versuchen genau Treffer zu erzielen
• die Poisson-Verteilung gibt uns die Wahrscheinlichkeit dafür, bei Versuchen genau Treffer zu erzielen

Sei also eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit Verteilung .

Die Anzahl erwarteter Treffer einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist gleich dem Erwartungswert der Binomialverteilung für also .

Für die Poisson-Verteilung haben wir festgelegt, dass die Anzahl erwarteter Treffer durch festgelegt sein soll.

Wir verlangen daher nun auch für die Folge der binomialverteilten Zufallsvariablen , dass sei.

Es gelte also:

Das heißt nach Interpretation der Binomialverteilung: wir führen zwar immer mehr Versuche () durch, die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu landen wird aber auch immer geringer, sodass die Anzahl erwarteter Treffer wie gewünscht konstant bleibt.

Berechnung des Grenzwertes

Wir haben also eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit Verteilungen , wobei .

Wir stellen jetzt zunächst einmal die Formel für (die wir durch die Binomialverteilung erhalten) etwas um.

Hierbei nutzen wir unter anderem die Definition der fallenden Faktoriellen .

Nach Definition gilt also:

Nach Gleichung hatten wir festgelegt. Das setzen wir jetzt in Gleichung ein und erhalten weiter:

Gleichung führt uns jetzt schon fast ans Ziel. Wir müssen nur noch den Grenzwert (also ) ausrechnen.

Hierzu betrachten wir einmal die vier (Haupt-)Bestandteile von Gleichung einzeln, also:

1. Hauptbestandteil ()

Hier gilt: der Limes ist gleich der Ausdruck selbst, denn er ist überhaupt nicht von abhängig:

2. Hauptbestandteil ()

Das ist jetzt schon etwas trickreicher. Es gilt:

3. Hauptbestandteil ()

Da konstant ist, folgt, dass . Außerdem ist offensichtlich divergent.

Da durchaus sein kann, können wir an dieser Stelle leider nicht das Theorem über die Repräsentation der Euler’schen Zahl durch Nullfolgen anwenden.

Ich habe gerade keine Zeit für den Beweis, aber für die Folge gilt:

• To-do: Beweis für Konvergenz gegen nachholen.

4. Hauptbestandteil ()

Es gilt:

Schluss

Mit den gerade aufgestellten Gleichungen folgt für Gleichung :