Definition - Exponentielles Modell

• Beispiele:
  • Stetig:
    • Normalverteilung
    • Beta-Verteilung
    • Gamma-Verteilung
    • Chi-Quadrat-Verteilung
  • Diskret:
    • Bernoulli-Verteilung
    • Binomialverteilung
    • Multinomialverteilung
    • Poisson-Verteilung
    • Geometrische Verteilung
    • Negative Binomialverteilung
  • Gegenbeispiel:
    • Stetige Gleichverteilung.
• Generalisierungen:
  • Statistisches Modell
• Eigenschaften:
  • Wachsender Likelihood-Quotient im Exponentialmodell
  • Bester linksseitiger Test im exponentiellen Modell
  • Bester rechtsseitiger Test im exponentiellen Modell
• Involvierte Definitionen:
  • Statistisches Modell
  • Suffiziente Statistik
  • Likelihood-Funktion
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023, @georgii2009, @murphy2012

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Definition: Exponentielles Modell

Sei ein statistisches Modell.
Sei eine -messbare Funktion.
Sei eine -messbare suffiziente Statistik.
Sei eine beliebige Funktion.
Sei die Normierungsfunktion mit .
Sei die logarithmierte Normierungsfunktion.

Wir bezeichnen als exponentielles Modell, wenn die Likelihood-Funktion von sich darstellen lässt als

Anmerkung

Achtung

Hier gibt es ein Problem mit der normierungsfunktion A!