Definition - Negative Binomialverteilung

• Typen:
  • Geometrische Verteilung (mit )
• Generalisierungen:
  • Diskrete Verteilung
  • Exponentialfamilie
• Eigenschaften:
  • Additionsgesetz der negativen Binomialverteilung
  • Summe geometrischer Zufallsvariablen ist negativ binomialverteilt
  • Erwartungswert der negativen Binomialverteilung
  • Varianz der negativen Binomialverteilung
• Involvierte Definitionen:
  • Diskrete Verteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Negative Binomialverteilung

Seien .
Sei die Anzahl der Nieten vor dem -ten Treffer.
Sei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.

Wir bezeichnen die Zufallsvariable als negativ binomialverteilt (auch Pascal-verteilt) , wenn

• gibt an, wie viele Nieten gezogen wurden,
• gibt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass genau Nieten gezogen wurden, bevor der -te Treffer gezogen wird.

Herleitung

Es gibt nun zwei relevante Größen:

1. Wir möchten wissen, was die Wahrscheinlichkeit dafür ist, insgesamt Nieten und Treffer zu erzielen.
2. Wir möchten wissen, wie viele Möglichkeiten (Pfade) es gibt, vor dem -ten Versuch genau Nieten und Treffer zu ziehen. (Das Ergebnis des -ten Versuchs steht schon fest, es muss ein Erfolg sein, und zählt hier daher nicht mehr mit hinein.)

Die Wahrscheinlichkeit für die negative Binomialverteilung erhalten wir dann, indem wir die beiden Größen (1. und 2.) miteinander multiplizieren.

Die 1. Größe, also die Wahrscheinlichkeit für Nieten und Treffer, ist: . Das leuchtet ein, denn die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist , die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist entsprechend .

Die 2. Größe, also die Anzahl der Pfade, vor dem -ten Versuch genau Nieten und Treffer zu ziehen, können wir mit dem Binomialkoeffizienten lösen. Das ist nämlich äquivalent dazu, aus einer -elementigen Menge eine -elementige Teilmenge auszuwählen - unsere Nieten. Die übrigen Elemente sind dann die Treffer. Die Anzahl erhalten wir als .

Multiplikation der beiden Größen gibt uns die negative Binomialverteilung:

was zu zeigen war.