Theorem - Erwartungswert der negativen Binomialverteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Erwartungswert
  • Negative Binomialverteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Erwartungswert der negativen Binomialverteilung

Sei eine negativ binomialverteilte Zufallsvariable.

Dann gilt für den Erwartungswert von :

Beweis

Seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit .

Dann gilt nach dem Korollar darüber, dass die Summe geometrischer Zufallsvariablen negativ binomialverteilt ist, die Verteilungen sind also identisch:

Aus gleicher Verteilung folgt wiederum gleicher Erwartungswert, also .

Da der Erwartungswert außerdem additiv ist, gilt:

Mit dem Theorem über den Erwartungswert der geometrischen Verteilung folgt für Gleichung :

was zu zeigen war.