Theorem - Varianz der negativen Binomialverteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Varianz
  • Negative Binomialverteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Varianz der negativen Binomialverteilung

Sei eine negativ binomialverteilte Zufallsvariable.

Dann gilt für die Varianz von :

Beweis

Seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit .

Dann gilt nach dem Korollar darüber, dass die Summe geometrischer Zufallsvariablen negativ binomialverteilt ist, die Verteilungen sind also identisch:

Aus gleicher Verteilung folgt wiederum gleiche Varianz, also .

Da die stochastisch unabhängig sind, folgt mit dem Theorem über die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen

Mit dem Theorem über die Varianz der geometrischen Verteilung folgt für Gleichung :

was zu zeigen war.