Theorem - Additionsregel für die Varianz

• Generalisierungen: Varianz einer Summe von Zufallsvariablen
• Involvierte Definitionen:
  • Varianz
  • Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Additionsregel für die Varianz

Seien diskrete Zufallsvariablen.

Sind stochastisch unabhängig und mit existierenden Varianzen, so gilt:

Und wenn doch nicht unabhängig sind?

Dann gilt mit dem Theorem über die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen.

Beweis

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Summen gilt:

woraus folgt, dass auch die Varianz der Summe existiert.

Da die Varianz translationsinvariant ist, können wir uns das Leben etwas einfacher machen und o.b.d.A annehmen, dass alle so normiert sind, dass . Das hat zwei nette Nebeneffekte:

• wir können die Berechnung der Varianz durch Minimierung nutzen
• (mit der Multiplikationsregel für den Erwartungswert)

In dem Beweis nutzen wir außerdem das Korollar über den Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen.

Damit gilt:

Was zu zeigen war.