Definition - Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

• Typen:
  • Stochastische Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen
  • Stochastische Unabhängigkeit stetiger Zufallsvariablen
• Konstrukte:
  • Folge unabhängiger Zufallsvariablen
  • Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen
• Generalisierungen:
  • Stochastische Unabhängigkeit von Mengensystemen
• Eigenschaften:
  • Messbare Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen sind unabhängig
  • Blockungslemma
  • Blockungslemma durch Funktionen
  • Chernoff-Schranke für die Summe stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen
• Charakterisierungen:
  • Unabhängigkeit von Zufallsvariablen und gemeinsame Verteilungsfunktion
  • Unabhängigkeit und gemeinsame Verteilung (@henze2019, S. 58)
• Involvierte Definitionen:
  • Zufallsvariable
  • Stochastische Unabhängigkeit von Mengensystemen
  • Erzeugte Sigma-Algebra einer messbaren Abbildung
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • Folge
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Stochastische Unabhängigkeit von (endlich vielen) Zufallsvariablen

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien (wobei ) Messräume.
Seien Zufallsvariablen mit .

Die Zufallsvariablen heißen stochastisch unabhängig, falls:

sind stochastisch unabhängig. Das ist genau der Fall, wenn:

Definition: Stochastische Unabhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine Folge von Messräumen.
Sei eine Folge von Zufallsvariablen mit .

Die Zufallsvariablen heißen stochastisch unabhängig, wenn für alle endlichen Teilmengen gilt:

sind stochastisch unabhängig.

Anmerkung

Kann eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen existieren?

Die Existenz der Folge unabhängiger Zufallsvariablen ist durch das Theorem Existenz von Folgen unabhängiger Zufallsvariablen gegeben.

Unabhängigkeit von Zufallsvariable und -Algebra?

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine Zufallsvariable mit .
Sei eine -Algebra.

Wir bezeichnen und als stochastisch unabhängig, wenn

Herleitung der Formel

Wir beginnen mit der Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Mengensystemen. Nach dieser sind die genau dann stochastisch unabhängig, wenn

Nach Definition der erzeugten Sigma-Algebra einer Zufallsvariablen (und da ) gilt:

Da gibt es also ein , sodass

Unter Zuhilfenahme der Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen gilt weiter:

Damit können wir Gleichung wie folgt umschreiben:

In Gleichung schneiden wir alle für . Es kann vorkommen, dass nicht alle Elemente aus enthält, sondern nur einen Teil (zum Beispiel ).

Wählen wir in diesem Fall , so können wir Gleichung weiter vereinfachen:

Nutzen wir nun noch die Schreibweise für den Schnitt von Zufallsvariablen aus den Mengenschreibweisen bei Zufallsvariablen, so erhalten wir:

was herzuleiten war.