Theorem - Starkes Gesetz der großen Zahlen

• Involvierte Definitionen:
  • Fast-sichere Konvergenz
  • Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen
  • Erwartungswert
  • Stochastische Unabhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen
  • Fast-sichere Konvergenz
  • Folge von Zufallsvariablen
  • Siehe auch Schwaches Gesetz der großen Zahlen
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023, @klenke2020 p. 126

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Theorem: Starkes Gesetz der großen Zahlen (Etemadi)

Sei eine Folge paarweise unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit .

Dann gilt mit dem starken Gesetz der großen Zahlen nach Etemadi:

wobei der Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen ist (die ja alle denselben Erwartungswert haben).

Theorem: Starkes Gesetz der großen Zahlen (Kolmogorov)

Sei eine Folge unabhängiger und identisch verteilter (u.i.v.) Zufallsvariablen mit .

Dann gilt mit dem starken Gesetz der großen Zahlen nach Kolmogorov:

wobei der Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen ist (die ja alle denselben Erwartungswert haben).