Theorem - Zentraler Grenzwertsatz

• Bewiesen durch:
• Konstrukte:
  • Beidseitiger t-Test auf den Erwartungswert
  • Linksseitiger t-Test auf den Erwartungswert
  • Rechtsseitiger t-Test auf den Erwartungswert
• Propositionen/Theoreme, auf denen der Beweis aufbaut
• Involvierte Definitionen:
  • Folge von Zufallsvariablen
  • Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen
  • Stochastische Unabhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen
  • Lebesgue-Raum
  • Erwartungswert
  • Varianz
  • Standardnormalverteilung
  • Konvergenz in Verteilung
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Theorem 2.1.15)

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Theorem: Zentraler Grenzwertsatz (von Lindeberg-Lévy)

Sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen (u.i.v.) mit .
Sei der Erwartungswert der .
Sei die Varianz der .
Sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.

Dann gilt mit dem zentralen Grenzwertsatz (von Lindeberg-Lévy):

beziehungsweise

Anmerkung

Alternative Schreibweise

Sei der Mittelwert der Zufallsvariablen.

Dann können wir alternativ auch schreiben:

und damit