Proposition - Multiplikationsregel für den Erwartungswert

• Involvierte Definitionen:
  • Erwartungswert
  • Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Multiplikationsregel für den Erwartungswert

Seien zwei Zufallsvariablen.
Seien die Erwartungswerte von und existent.

Sind stochastisch unabhängig, so gilt:

Beweis

Beweis im diskreten Fall

Wir erhalten das Ergebnis über den Erwartungswert für -dimensionale diskrete Zufallsvektoren. Wir modellieren wie folgt:

Sei ein 2-dimensionaler Zufallsvektor. Sei eine Messbare Abbildung mit . Dann gilt:

Seien:

• und
• .

Zunächst ist die Existenz es Erwartungswertes zu zeigen. Mit der Definition des Erwartungswertes und der stochastischen Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen gilt:

Da es sich jeweils um endliche Summen mit endlichen Summanden handelt, gilt . Damit existiert und durch Weglassen der Betragsstriche folgt:

was zu zeigen war.