Definition - Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

• Typen:
  • Allgemeine Übergangswahrscheinlichkeit eines mehrstufigen unabhängigen stochastischen Vorgangs
  • Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion eines mehrstufigen unabhängigen stochastischen Vorgangs
• Beispiele:
  • Ereignisse bei der Binomialverteilung.
  • Produktexperiment (Mehrstufiger unabhängiger stochastischer Vorgang)
• Generalisierungen:
  • Stochastische Unabhängigkeit endlich vieler Ereignisse
  • Stochastische Unabhängigkeit unendlich vieler Ereignisse
  • Binäre Relation
  • Stochastische Unabhängigkeit von Mengensystemen
    • Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
• Eigenschaften:
  • Stochastische Unabhängigkeit darf nicht mit kausaler Unabhängigkeit verwechselt werden
  • Stochastische Unabhängigkeit ist nicht transitiv
  • Lemma von Borel-Cantelli
  • Stochastische Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit
  • Unkorreliertheit impliziert nicht stochastische Unabhängigkeit
• Charakterisierungen:
  • Zwei Ereignisse sind unabhängig gdw die Wahrscheinlichkeit für A gegeben B ist gleich A gegeben Komplement von B
  • Zwei Ereignisse sind unabhängig gdw eines der Ereignisse und das Komplement des anderen Ereignisses unabhängig sind
• Involvierte Definitionen:
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit (Stochastische Abhängigkeit)
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Folge
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, @eichelsbacher2023

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Definition: Stochastische Unabhängigkeit (von 2 Ereignissen)

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien zwei Ereignisse.
Sei .

Zwei Ereignisse und heißen stochastisch unabhängig, wenn

Insbesondere gilt damit nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

Das heißt: Das Ereignis hat keinerlei Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses .

Anmerkung

Unabhängigkeit von sich selbst?

Sei ein Ereignis.

ist genau dann unabhängig von sich selbst, wenn gilt: