Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Typen:
  • Allgemeine Übergangswahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion eines mehrstufigen stochastischen Vorgangs
  • Bedingte Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
  • A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
• Beispiele:
  • Faire oder unfaire Münze
• Konstrukte:
  • Satz von Bayes
  • Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
  • Produktregel der Stochastik
  • Allgemeine Multiplikationsregel
  • Unbedingte Wahrscheinlichkeit
  • Allgemeine Multiplikationsregel
  • Markoveigenschaft
  • Bedingte Entropie
• Generalisierungen:
  • Mehrstufiger stochastischer Vorgang
• Involvierte Definitionen:
  • Ereignis
  • Zufallsexperiment
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • Schnitt von Ereignissen
  • Stochastische Unabhängigkeit (Unbedingte Wahrscheinlichkeit)
• Veranstaltung: AlMa, EiS
• Referenz: } AlgoMathe KE1 - Wahrscheinlichkeitsraum, @henze2019

⠀

Definition: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien Ereignisse.
Sei .

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung ist definiert durch

Wir sprechen als ” gegeben ”

Wahrscheinlichkeit des Schnittes von Ereignissen

Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt insbesondere:

Komma statt

Bei Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsmaßen schreiben nutzen wir statt häufig Kommata, also .

Anmerkung

Grundraum und Ereignismenge im mehrstufigen stochastischen Vorgang

Die bedingte Wahrscheinlichkeit spielt bei mehrstufigen stochastischen Vorgängen eine wichtige Rolle.

Sei also: .

Ereignisse setzen sich dann bspw. zusammen als und .

Was heißt das jetzt? Nun: auch wenn die Ereignisse und für unterschiedliche “Stufen” in dem mehrstufigen stochastischen Vorgang stehen sollten, haben sie eine Schnittmenge.

Interpretation

Schauen wir uns die Formel noch einmal ganz genau an:

Das heißt:

• wir berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass sowohl als auch eintreten (das ist ).
• wir “skalieren” die Wahrscheinlichkeit hoch, indem wir durch teilen.

Und weshalb skalieren wir die Wahrscheinlichkeit hoch? Nun, wenn wir sagen, dass eingetreten ist, können jetzt nur noch Ereignisse eintreten, die mit kompatibel sind, heißt: die eine nicht-leere Schnittmenge mit haben.

Damit hat sich gewissermaßen der Grundraum geändert, von zu . Indem wir durch teilen, normieren wir die Wahrscheinlichkeit von .

So wird sichergestellt, dass bspw. .

Wichtig

Es gilt insbesondere der Satz von Bayes:

Wichtige Gleichungen, die die bedingte Wahrscheinlichkeit erfüllt

Das ist ein bisschen aus heiterem Himmel, aber: Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gelten insbesondere: