Theorem - Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Geometrische Verteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung

Sei eine geometrisch verteilte Zufallsvariable.

Wir sagen auch, dass die geometrische Verteilung gedächtnislos ist, das heißt:

Das heißt: dass ich bereits Nieten gezogen habe, hat keinen Einfluss darauf, bis zum ersten Treffer noch weitere Nieten zu ziehen. Es ist so, als hätte noch kein einziges Mal gezogen.

Anmerkung

Charakterisierung der geometrischen Verteilung

Es gilt sogar, dass die hier beschriebene Gedächtnislosigkeit eine Charakterisierung der geometrischen Verteilung ist.

Heißt: eine -wertige Zufallsvariable ist genau dann geometrisch Verteilt, , wenn

und .

Beweis

Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt

Da das Ereignis immer eingetreten ist, wenn auch das Ereignis eintritt, also , gilt

Damit erhalten wir für Gleichung weiter:

Den Zähler können wir direkt mit der geometrischen Verteilung berechnen.

Für den Nenner müssen wir jedoch noch etwas herumüberlegen.

Mit der 2. Pfadregel ist gleich der Summe aller Ereignisse mit . Also

Jetzt können wir Gleichung endlich komplett bestimmen. Es gilt:

was zu zeigen war.