Definition - Kovarianz

• Typen:
  • Kovarianzmatrix
• Konstrukte:
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen
  • Korrelationskoeffizient
  • Varianz einer Summe (abhängiger) Zufallsvariablen
  • Varianz einer Indikatorsumme
• Generalisierungen:
  • Abweichungsmaß
• Eigenschaften:
  • Symmetrie der Kovarianz
  • Translationsinvarianz der Kovarianz
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen wenn
  • Kovarianz ist homogene Funktion 2. Grades
  • Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst entspricht der Varianz
  • Kovarianz zweier Summen von Zufallsvariablen (Additionsregel)
  • Kovarianz zweier Indikatorfunktionen
  • Stochastische Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit
  • Unkorreliertheit impliziert nicht stochastische Unabhängigkeit
  • Abschätzung der Kovarianz durch die Varianz
• Involvierte Definitionen:
  • Diskrete Zufallsvariable
  • Varianz
  • Erwartungswert
• Veranstaltung: EiS
• Referenz:
  • @henze2019
  • @beecks2024 (LE4. Statistische Methoden für die Deskriptive Datenanalyse)

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Definition: Kovarianz

Seien zwei Zufallsvariablen.

Als Kovarianz zwischen und bezeichnen wir

Sie misst den linearen Zusammenhang zwischen den beiden Zufallsvariablen

Anmerkung

Berechnung im stetigen Fall

Sei die gemeinsame Dichte von und .
Sei .
Sei

Im stetigen Fall gilt:

Herleitung

Die Kovarianz tritt bei der Berechnung der Varianz zweier stochastisch abhängiger Zufallsvariablen als Summand auf:

Umstellen der Formel liefert mithilfe der Homogenität des Erwartungswertes weiter:

ä