Definition - Kovarianz

• Typen:
  • Kovarianzmatrix
• Konstrukte:
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen
  • Korrelationskoeffizient
  • Varianz einer Summe (abhängiger) Zufallsvariablen
  • Varianz einer Indikatorsumme
• Generalisierungen:
  • Abweichungsmaß
• Eigenschaften:
  • Symmetrie der Kovarianz
  • Translationsinvarianz der Kovarianz
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen wenn
  • Kovarianz ist homogene Funktion 2. Grades
  • Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst entspricht der Varianz
  • Kovarianz zweier Summen von Zufallsvariablen (Additionsregel)
  • Kovarianz zweier Indikatorfunktionen
  • Stochastische Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit
  • Unkorreliertheit impliziert nicht stochastische Unabhängigkeit
  • Abschätzung der Kovarianz durch die Varianz
• Involvierte Definitionen:
  • Diskrete Zufallsvariable
  • Varianz
  • Erwartungswert
• Veranstaltung: EiS
• Referenz:
  • @henze2019
  • @beecks2024 (LE4. Statistische Methoden für die Deskriptive Datenanalyse)
  • @valdes2024 (p. 75 f.)

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Definition: Kovarianz

Seien zwei Zufallsvariablen.

Als Kovarianz zwischen und bezeichnen wir

Sie misst den linearen Zusammenhang zwischen den beiden Zufallsvariablen, kann aber nicht direkt als Stärke des Zusammenhangs interpretiert werden sondern gibt nur die Richtung des Zusammenhangs an.

Anmerkung

Berechnung im stetigen Fall

Sei die gemeinsame Dichte von und .
Sei .
Sei

Im stetigen Fall gilt:

Herleitung

Die Kovarianz tritt bei der Berechnung der Varianz zweier stochastisch abhängiger Zufallsvariablen als Summand auf:

Umstellen der Formel liefert mithilfe der Homogenität des Erwartungswertes weiter:

ä