Proposition - Aus Unkorreliertheit folgt nicht Unabhängigkeit

• Involvierte Definitionen:
  • Unkorreliertheit von Zufallsvariablen
  • Stochastische Unabhängigkeit
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Aus Unkorreliertheit folgt nicht Unabhängigkeit

Seien zwei Zufallsvariablen.

Dann gilt:

ä

Anmerkung

Aber andersherum

Denn Stochastische Unabhängigkeit impliziert Unkorreliertheit.

Beweis

Seien zwei unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen.

Dann gilt:

Die beiden Zufallsvariablen und sind damit also unkorreliert.

Modellieren und nun bspw. die Augenzahlen beim zweifachen Würfelwurf (und sind damit auch u.i.v.), dann sind die beiden Zufallsvariable und nach zwar unkorreliert, aber nicht stochastisch unabhängig, denn:

aber

Damit sind, (um es noch mal zu wiederholen) und zwar unkorreliert, nach Definition aber nicht stochastisch unabhängig, was zu zeigen war.