Theorem - Satz von Bienaymé

• Typen:
  • Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen
• Involvierte Definitionen:
  • Stochastische Abhängigkeit
  • Varianz
  • Kovarianz
• Veranstaltung: EiS, MatheDS
• Referenz: @henze2019, @riedel2023

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Theorem: Satz von Bienaymé

Seien beliebige diskrete Zufallsvariablen.

Existieren die Varianzen von , so gilt mit dem Satz von Bienaymé:

Anmerkung

Stochastische Unabhängigkeit

Insbesondere müssen nicht stochastisch unabhängig sein.

Sind sie stochastisch unabhängig, so folgt direkt die Additionsregel der Varianz.

Beweis

Es gilt:

: Insbesondere der Übergang zwischen diesem und dem vorangegangenen Schritt ist komplex nachzuvollziehen. Wir betrachten daher einen etwas simpleren Sachverhalt. Es gilt:

Durch den Term erhalten wir also letztlich die Kombinationen:

Das entspricht genau:

Merke: Gleichung hat denselben Wert wie Gleichung , in Gleichung mussten wir dafür aber einige der Terme doppelt zählen. Hier konkret den Term , um sowohl als auch reproduzieren zu können.

Hiermit folgt die Behauptung, was zu zeigen war.