Theorem - Satz von Bayes

• Beispiele:
  • Interpretation der Ergebnisse eines medizinischen Tests
  • Faire oder unfaire Münze
• Bewiesen durch:
  • Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
• Konstrukte:
  • Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten unter dem Einfluss von Information
• Involvierte Definitionen:
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Abzählbarkeit von Mengen
  • Paarweise Disjunktheit
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Ereignis
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Satz von Bayes

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien endlich oder abzählbar-unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse, mit:

• und

Dann gilt mit dem Satz von Bayes für jedes Ereignis :

Bayes für zwei Ereignisse

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien zwei Ereignisse.

Dann gilt mit dem Satz von Bayes:

Bayes für drei Ereignisse

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien zwei Ereignisse.

Dann gilt mit dem Satz von Bayes:

aber auch

Anmerkung

Achtung: Voraussetzungen beachten

Für den allgemeinen Bayes muss unbedingt gelten, dass:

In der Praxis

Seien zwei Ereignisse.

Haben wir über keine weiteren Informationen, so gibt es in der Praxis Situationen, in denen angenommen wird, dass gleichverteilt ist.

Der Satz von Bayes reduziert sich in diesem Fall zu:

Beweis

Beweis des allgemeinen Bayes

Es ist zu zeigen, dass

Nach der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt:

Mit Gleichungen und gilt damit:

was zu zeigen war.

Alternativer Beweis des Bayes für zwei Ereignisse

Es ist zu zeigen, dass

Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt:

Damit gilt offensichtlich auch:

was zu zeigen war.