Beispiel - Interpretation der Ergebnisse eines medizinischen Tests

• Involvierte Definitionen:
  • Sensitivität
  • Spezifität
  • Satz von Bayes
  • A-priori-Wahrscheinlichkeit
  • A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Beispiel: Interpretation der Ergebnisse eines medizinischen Tests

Angenommen, eine Person habe sich einem Test auf Vorliegen einer bestimmten Krankheit unterzogen und einen positiven Befund erhalten.

Seien hierzu:

• das Ereignis, krank zu sein.
• das Ereignis für ein positives Testergebnis.
• das Ereignis für ein negatives Testergebnis.

Uns interessiert nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person Test krank ist.

Ganz am Anfang wissen wir noch überhaupt nichts über die Person. Die beste Schätzung, die wir abgeben können, ist daher die A-priori-Wahrscheinlichkeit .

Finden wir jetzt aber heraus, dass die Person ein positives Testergebnis hat, können wir die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit angeben.

Finden wir stattdessen heraus, dass die Person ein negatives Testergebnis hat, können wir die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit angeben.

Beispiel: A-posteriori-Wahrscheinlichkeit für

Finden wir heraus, dass eine Person ein positives Testergebnis hatte, können wir die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit berechnen. Mit dem Satz von Bayes gilt:

Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

Führen wir diese Erkenntnisse noch einmal zurück in Gleichung , so gilt:

Das heißt: die Wahrscheinlichkeit dafür, bei positiver Diagnose auch tatsächlich krank zu sein, ist abhängig von:

• , der Wahrscheinlichkeit, krank zu sein.
• , der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis, wenn man krank ist
• , der Wahrscheinlichkeit, nicht krank zu sein.
• , der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis, wenn man nicht krank ist

Beispiel: A-posteriori-Wahrscheinlichkeit für

Finden wir heraus, dass eine Person ein negatives Testergebnis hatte, können wir die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit berechnen. Mit dem Satz von Bayes gilt:

Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

Führen wir diese Erkenntnisse noch einmal zurück in Gleichung , so gilt:

Das heißt: die Wahrscheinlichkeit dafür, bei positiver Diagnose auch tatsächlich krank zu sein, ist abhängig von:

• , der Wahrscheinlichkeit, krank zu sein.
• , der Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis, wenn man krank ist
• , der Wahrscheinlichkeit, nicht krank zu sein.
• , der Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis, wenn man nicht krank ist