Definition - Maximum-A-Posteriori-Hypothese

• Typen:
  • Maximum-Likelihood-Hypothese (wenn die gleichverteilt sind)
• Involvierte Definitionen:
  • Hypothese (ML) und Zufallsvariable
  • Hypothesenraum
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • A-priori-Wahrscheinlichkeit
  • A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
  • Datensatz
  • siehe auch Maximum-Likelihood-Hypothese
• Veranstaltung: EML
• Referenz: @thimm2024 (Abschnitt 2.5.1)

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Definition: Maximum-A-Posteriori-Hypothese

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei ein Hypothesenraum über den Funktionen .
Sei ein Datensatz.

Als Maximum-A-Posteriori-Hypothese (kurz MAP-Hypothese) bezeichnen wir eine Hypothese mit

Anmerkung

Notation

Es gilt:

• : a-posteriori-Wahrscheinlichkeit von
• : a-priori-Wahrscheinlichkeit von
• : Wahrscheinlichkeit, dass von “generiert” wurde
• : Wahrscheinlichkeit, dass beobachtet wurde.

Herleitung MAP-Hypothese

Wir starten zunächst mit

Mit dem Satz von Bayes gilt:

Da konstant ist, können wir den Term für das Optimierungsproblem ignorieren und erhalten folgerichtig: