Theorem - Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

• Beispiele:
  • Faire oder unfaire Münze
• Typen:
  • 2. Pfadregel
• Konstrukte:
  • Satz von Bayes
• Involvierte Definitionen:
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Abzählbarkeit von Mengen
  • Paarweise Disjunktheit
  • Siehe auch Formel vom totalen Erwartungswert
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien endlich oder abzählbar-unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse, mit:

• und

Dann gilt mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis :

Theorem: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit (für diskrete ZV)

Seien zwei diskrete Zufallsvariablen.
Sei eine Borel-Menge.

Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

Theorem: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit (für stetige ZV)

Seien zwei stetige Zufallsvariablen.
Sei die Dichte von .
Sei eine Borel-Menge.

Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

Anmerkung

Achtung: Voraussetzungen beachten

Es muss unbedingt gelten, dass:

Nützlichkeit

Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ist immer dann besonders nützlich, wenn zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines komplizierten Ereignisses eine Fallunterscheidung hilft.

Diese Fallunterscheidung liegt durch die Zerlegung des Grundraums vor.

Zusammenhang mit der 2. Pfadregel

Der Einfachheit halber betrachten wir hier lediglich einen -stufigen stochastischen Vorgang. Andernfalls müssten wir für jede Stufe eine weitere Indexmenge einführen - und das wäre nur schwer überschaubar.

• Sei also der abzählbare Grundraum eines -stufigen stochastischen Vorgangs.
• Seien die jeweiligen Übergangswahrscheinlichkeiten.
• Sei das Ereignis, dass das Ergebnis in der ersten Stufe auftritt.
• Sei das Ereignis, dass in der zweiten Stufe das Ergebnis auftritt.

Dann gilt:

Beweis

Da nach Voraussetzung , gilt:

Mit der Sigma-Additivität von und der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt weiter:

Was zu zeigen war.