Definition - Irreduzibilität einer zeithomogenen Markovkette

• Generalisierungen:
  • Zeithomogene Markovkette
• Eigenschaften:
  • Homogene irreduzible Markovkette besitzt eindeutige stationäre Verteilung
  • Zeithomogene irreduzible aperiodische Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
  • Übergangsmatrix einer zeithomogenen irreduziblen aperiodischen Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 7.3.24)

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Definition: Irreduzibilität einer zeithomogenen Markovkette (per bedingter Wahrscheinlichkeit)

Sei ein endlicher Zustandsraum.
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.

Wir bezeichnen als irreduzibel, wenn gilt:

Das heißt: für alle Zustände ist die Wahrscheinlichkeit, in beliebig vielen Schritten von zu zu gelangen größer als .

Definition: Irreduzibilität einer zeithomogenen Markovkette (per Übergangsmatrix)

Sei ein endlicher Zustandsraum.
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.
Sei die Übergangsmatrix von .

Wir bezeichnen als irreduzibel, wenn gilt:

wobei den Eintrag an der Stelle der entsprechenden Zustände bezeichne.

Das heißt: für alle Zustände ist die Wahrscheinlichkeit, in beliebig vielen Schritten von zu zu gelangen größer als .

Anmerkung

In anderen Worten

Aus dem Tutorium von Frau Brinker: