Definition - Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette

• Konstrukte:
  • Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette
  • Irreduzible zeithomogene Markovkette
• Generalisierungen:
  • Übergangswahrscheinlichkeit der (zeithomogenen) Markovkette
  • Quadratische Matrix
  • Stochastische Matrix
• Eigenschaften:
  • Verteilungen einer homogenen Markovkette durch Wahrscheinlichkeitsvektor und Übergangsmatrix
  • Verteilung einer homogenen Markovkette ist durch Startverteilung und Übergangsmatrix eindeutig bestimmt
  • Wahrscheinlichkeit für den Zustand einer zeithomogenen Markovkette durch Eintrag in der Übergangsmatrix
  • Übergangsmatrix einer zeithomogenen irreduziblen aperiodischen Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Bedingte Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
  • Übergangswahrscheinlichkeit der (zeithomogenen) Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 7.3.3)

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Definition: Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette mit .

Sei und damit .

Als Übergangsmatrix von bezeichnen wir

Wobei es sich bei um die Übergangswahrscheinlichkeit von nach handelt.