Definition - Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette

• Generalisierungen:
  • Wahrscheinlichkeitsvektor
  • Verteilung einer Markovkette als Wahrscheinlichkeitsvektor
  • Verteilung eines stochastischen Prozesses
  • Startverteilung einer Markovkette
• Eigenschaften:
  • Stationäre Verteilung ist nicht eindeutig
  • Existenz einer stationären Verteilung ist nicht gesichert
  • Stationäre Verteilung durch Eigenwertproblem
  • Homogene irreduzible Markovkette besitzt eindeutige stationäre Verteilung
• Charakterisierungen:
  • Stationäre Verteilung durch Eigenwertproblem
• Hinreichende Bedingungen:
  • Stationäre Verteilung durch Eigenwertproblem
  • Homogene irreduzible Markovkette besitzt eindeutige stationäre Verteilung
  • Zeithomogene irreduzible aperiodische Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Verteilung eines stochastischen Prozesses
  • Verteilung einer Markovkette als Wahrscheinlichkeitsvektor
  • Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette
  • Startverteilung der Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 7.3.20 und Satz 7.3.21)

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Definition: Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.
Sei die Übergangsmatrix von .

Als stationäre Verteilung von bezeichnen wir den Wahrscheinlichkeitsvektor , wenn gilt:

Definition: Stationäre Markovkette

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.
Sei die Übergangsmatrix von .
Sei eine stationäre Verteilung zu .

Wir bezeichnen als stationäre Markovkette, wenn gilt:

anders gesagt: wenn die Startverteilung von ist.