Proposition - Stationäre Verteilung ist nicht eindeutig

• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette
  • Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Übungsaufgabe 7.3.22)

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Proposition: Stationäre Verteilung ist nicht eindeutig

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.
Sei die Übergangsmatrix von .

Dann gilt:

Nicht zu jeder (zeithomogenen?) Markovkette existiert auch eine stationäre Verteilung.

Beweis

Beispielsweise ist die einfache symmetrische Irrfahrt auf ein Beispiel für eine (zeithomogene?) Markovkette, die keine stationäre Verteilung besitzt.