Definition - Zeithomogene Markovkette

• Typen:
  • Irreduzible zeithomogene Markovkette
  • Aperiodische zeithomogene Markovkette
• Beispiele:
  • Einfache Irrfahrt
• Konstrukte:
  • Übergangswahrscheinlichkeit der (zeithomogenen) Markovkette
  • Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette
  • Verteilung einer Markovkette als Wahrscheinlichkeitsvektor
  • Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette
  • Stoppzeit
  • Periode einer zeithomogenen Markovkette
• Generalisierungen:
  • Markovkette
• Eigenschaften:
  • Verteilung einer homogenen Markovkette ist durch Startverteilung und Übergangsmatrix eindeutig bestimmt
    • Verteilungen einer homogenen Markovkette durch Wahrscheinlichkeitsvektor und Übergangsmatrix
    • Verteilung einer homogenen Markovkette durch Startverteilung und Übergangswahrscheinlichkeiten
  • Starke Markoveigenschaft
  • Fast sichere Rückkehr einer zeithomogenen Markovkette zum Startwert
  • Unendliche Rückkehr einer zeithomogenen Markovkette zum Startwert
  • Wahrscheinlichkeit für den Zustand einer zeithomogenen Markovkette durch Eintrag in der Übergangsmatrix
  • Homogene irreduzible Markovkette besitzt eindeutige stationäre Verteilung
  • Zeithomogene irreduzible aperiodische Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
  • Übergangsmatrix einer zeithomogenen irreduziblen aperiodischen Markovkette konvergiert gegen ihr statistisches Gleichgewicht
• Involvierte Definitionen:
  • Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Definition 7.3.1)

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Definition: Zeithomogene Markovkette

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei ein stochastischer Prozess mit .

Wir bezeichnen als (zeit)homogene Markovkette, wenn die Markoveigenschaft zeitunabhängig erfüllt, also wenn:

mit und , wobei .