Definition - Starke Markoveigenschaft

• Typen:
• Generalisierungen:
  • Markoveigenschaft
• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Stoppzeit
  • Übergangswahrscheinlichkeit der (zeithomogenen) Markovkette
  • Sigma-Algebra der Tau-Vergangenheit
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz:
  • @riedel2023 (Satz 7.3.13)
  • @norris1998 (Theorem 1.4.2, insb. der Beweis)

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Proposition: Starke Markoveigenschaft (neue Kette)

Sei eine abzählbare Menge.
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette mit .
Sei eine Stoppzeit.

Falls , so gilt mit der starken Markoveigenschaft:

Der stochastische Prozess mit ist eine zeithomogene Markovkette mit den selben Übergangswahrscheinlichkeiten wie . Also:

Definition: Starke Markoveigenschaft (reinitialisierung)

Sei eine abzählbare Menge.
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette mit .
Sei eine Stoppzeit.
Sei eine zeithomogene Markovkette mit .
Sei die -Algebra der -Vergangenheit.

Dann gilt mit der starken Markoveigenschaft:

Das heißt: egal welche Vergangenheit die Markovkette durchlaufen hat, zu Stoppzeiten ist die Verteilung einer zeithomogenen Markovkette stochastisch unabhängig von ihren möglichen Vergangenheiten .

Man könnte sogar soweit gehen, sie neu zu starten und mit dem Zustand von zu initialisieren. Heißt:

Die Verteilung der Kette ist identisch zu einer neuen zeithomogenen Markovkette , die mit dem selben Zustand initialisiert wurde wie (also ) und dieselben Übergangswahrscheinlichkeiten wie hat.

Herleitung

Erstmal sehr grob. Es gilt

Schritt 1

Sei . Sei die Vergangenheit bis zu dem Zeitpunkt . Dann gilt:

Das große Verständnis

Norris definiert:

Nach ihm folgt in dem Beweis von Theorem 1.4.2:

Da gilt damit auch

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass

Und das ergibt auch Sinn, denn ist ja die Markovkette mit denselben Übergangswahrscheinlichkeiten wie mit Startpunkt . In der Def. ist also schon vorgegeben, dass !

Und jetzt verstehe ich hier auch alles! 🥳🎉🌟

Damit lässt sich das Theorem besser verständlich formulieren 😊