Proposition - Existenz einer stationären Verteilung ist nicht gesichert

• Involvierte Definitionen:
  • Zeithomogene Markovkette
  • Übergangsmatrix der (zeithomogenen) Markovkette
  • Stationäre Verteilung einer zeithomogenen Markovkette
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (S. 186)

⠀

Proposition: Existenz einer stationären Verteilung ist nicht gesichert

Sei eine abzählbare Menge (hier auch Zustandsraum).
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine zeithomogene Markovkette.
Sei die Übergangsmatrix von .

Existiert zu eine stationäre Verteilung , so ist nicht gesichert, dass diese auch eindeutig ist.

Es kann also eine zweite stationäre Verteilung geben, mit .

Beweis

Ist bspw. eine zeithomogene Markovkette mit Übergangsmatrix

so ist jeder Wahrscheinlichkeitsvektor eine stationäre Verteilung von .