Definition - Schnitt von Ereignissen

• Konstrukte:
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Stochastische Unabhängigkeit
• Generalisierungen:
  • Durchschnitt von Mengen
• Eigenschaften:
  • Wahrscheinlichkeit für den Schnitt eines Ereignisses mit dem Komplement eines anderen Ereignisses
• Involvierte Definitionen:
  • Ergebnisraum
  • Ereignis
  • Durchschnitt von Mengen
  • Eintreten eines Ereignisses
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

⠀

Definition: Schnitt von Ereignissen

Sei ein Ergebnisraum.
Seien Ereignisse.

Dann ist ebenfalls ein Ereignis.
Tritt ein, so sagen wir auch, dass und beide eintreten.

Ebenso ist das Ereignis, dass jedes der Ereignisse eintritt.

Anmerkung

Achtung: Andere Schreibweisen

In der Stochastik wird das Durchschnittszeichen zwischen Mengen oft ausgelassen.

Man schreibt also beispielsweise:

statt .

Bei der Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsmaßen nutzen wir oft auch Kommata, also

Wahrscheinlichkeit des Schnittes von Ereignissen

Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt insbesondere:

Siehe auch: Allgemeine Multiplikationsregel

Herleitung

Das ist tatsächlich einmal trivial. Da und beide Teilmengen von sind, ist ihr Durchschnitt ebenfalls eine Teilmenge von .

Damit ist ein Ereignis.

Weiter sagen wir, dass eintritt, wenn wir das Ergebnis als Resultat des beschriebenen stochastischen Vorgangs beobachten.

Damit muss weiter gelten, dass . Damit sagen wir, dass eintritt und dass eintritt. Es treten also beide Ereignisse und ein.