Proposition - Wahrscheinlichkeit für den Schnitt eines Ereignisses mit dem Komplement eines anderen Ereignisses

• Involvierte Definitionen:
  • Schnitt von Ereignissen
  • Ereignis
  • Komplementärereignis
  • Gegenwahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

⠀

Proposition: Wahrscheinlichkeit für den Schnitt eines Ereignisses mit dem Komplement eines anderen Ereignisses

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien zwei Ereignisse.
Sei .

Es gilt:

Anmerkung

Tipp

Da insbesondere [[Notizen/Proposition - Zwei Ereignisse sind unabhängig gdw die Wahrscheinlichkeit für A gegeben B ist gleich A gegeben Komplement von B| und unabhängig sind]], gilt auch:

Verallgemeinerung

In Verallgemeinerung gilt für beliebige Ereignisse und Indexmengen mit .:

Wobei wir setzen.

Beweis

Wir zeigen die Behauptung über einen kleinen Umweg.

Nach der Definition des Durchschnitts von Mengen gilt:

Da sigma-additiv ist, gilt hiermit weiter

Was zu zeigen war.