Theorem - Additionsgesetz der negativen Binomialverteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Negative Binomialverteilung
  • Stochastische Unabhängigkeit
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Additionsgesetz der negativen Binomialverteilung

Sei eine Zufallsvariable mit .
Sei eine Zufallsvariable mit .

Sind und stochastisch unabhängig, so gilt mit dem Additionsgesetz der negativen Binomialverteilung:

Beweis

Wir wollen also zeigen, dass ist.

Das ist äquivalent dazu, dass:

Mithilfe der diskreten Faltungsformel: gilt:

Gleichung entspricht nun schon fast Gleichung . Es ist lediglich noch zu zeigen, dass

Dieser Ausdruck entspricht wiederum der Chu-Vandermonde Identität:

Memo - Chu-Vandermonde Identität

Für den Binomialkoeffizienten gilt:

In Kombination mit Gleichung folgt also:

was zu zeigen war.