Definition - Stochastische Unabhängigkeit endlich vieler Ereignisse

• Typen:
  • Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse
• Generalisierungen:
  • Stochastische Unabhängigkeit unendlich vieler Ereignisse
  • Stochastische Unabhängigkeit von Mengensystemen
• Eigenschaften:
  • Lemma von Borel-Cantelli
• Involvierte Definitionen:
  • Stochastische Unabhängigkeit
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

⠀

Definition: Stochastische Unabhängigkeit (endlicher vieler Ereignissen)

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Die Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn:

für alle mindestens zweielementigen Mengen mit .

Anmerkung

Achtung: paarweise Unabhängigkeit Unabhängigkeit

Für die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen müssen wir also eine ganze Reihe von Gleichungen prüfen.

Die paarweise Unabhängigkeit der Ereignisse ist also ein schwächerer Begriff als die vollkommene Unabhängigkeit der Ereignisse.

Für die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen müssen wir Gleichungen prüfen

Nach der Definition der stochastischen Unabhängigkeit für Ereignisse müssen wir

für alle mindestens zweielementigen Mengen also mit prüfen.

Nach der Proposition über die Mächtigkeit der Potenzmenge gilt .

Da uns alle mindestens zweielementigen Elemente aus der Potenzmenge interessieren, müssen wir die Anzahl aller einelementigen - und nullelementigen - Elemente herausrechnen.

Insgesamt gibt es einelementigen Elemente () und ein einziges nullelementiges Element: die leere Mengen .

Wir erhalten also mögliche Kombinationen für , die wir prüfen müssen.