Proposition - Stochastische Unabhängigkeit ist nicht transitiv

• Involvierte Definitionen:
  • Stochastische Unabhängigkeit
  • Transitivität
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Stochastische Unabhängigkeit ist nicht transitiv

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien drei Ereignisse.

Stochastische Unabhängigkeit ist als Relation nicht transitiv. Es gilt also:

unabhängig unabhängig unabhängig.

Beweis

Angenommen, die Relation der stochastischen Unabhängigkeit wäre transitiv. Wir geben an dieser Stelle ein Gegenbeispiel, womit folgt, dass die stochastische Unabhängigkeit nicht im allgemeinen transitiv sein kann.

Wir betrachten beispielsweise den Würfelwurf.

Sei .
Sei die Laplacesche-Gleichverteilung auch . Seien , und drei Ereignisse.

Dann gilt:

Nach Definition der stochastischen Unabhängigkeit sind damit und , sowie und stochastisch unabhängig.

Die Wahrscheinlichkeit .

und sind also nicht stochastisch unabhängig.

Es folgt die Behauptung.