Definition - Likelihood-Funktion

• Typen:
  • Log-Likelihood-Funktion
  • Produkt-Likelihood-Funktion
• Konstrukte:
  • Maximum-Likelihood-Schätzer
  • Likelihood-Quotient
• Involvierte Definitionen:
  • Statistisches Modell
  • Schätzer
  • Zähldichte (im diskreten Fall)
  • Dichte
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Likelihood-Funktion (diskreter Fall)

Sei ein diskretes statistisches Modell.
Sei die Zähldichte von .

Als Likelihood-Funktion bezeichnen wir eine durch parametrisierte Zähldichte:

mit .

Definition: Likelihood-Funktion (stetiger Fall)

Sei ein stetiges statistisches Modell.
Sei die Dichte von .

Als Likelihood-Funktion bezeichnen wir eine durch parametrisierte Dichtefunktion:

mit .

Definition: Likelihood

Sei ein statistisches Modell.
Sei eine Likelihood-Funktion.

Als Likelihood für einen Wert unter dem Parameter definieren wir durch

Sie ergibt sich also direkt als Ergebnis der (Zähl)dichte.

Anmerkung

Welche Rolle spielt hier eigentlich das ?

Das ist die zentrale Idee der Likelihood-Funktion.

Es ist eine Parametrisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der (zähl-)Dichte von .

Beispielsweise:

• ,
• ,
• …

Das ist also genau so ein Parameter der Likelihood-Funktion wir das .